Figurierte Zahlen

Der einzigartige erkenntnistheoretische Charakter der Mathematik, in dessen Zentrum der mathematische Beweis steht, entwickelte sich, historisch gesehen, im Kulturkreis der griechischen Antike. Die Methode der „figurierten Zahlen“ setzte, auf der Mathematik der Babylonier aufbauend, etwa zur Zeit von Pythagoras von Samos (um ca. 600-500 v.Chr.) ein. Die Lehre der Pythagoreer von „Gerade und Ungerade“ lieferte Erkenntnisse bis hin zu den vollkommenen Zahlen. Der Neupythagoreer Nikomachos von Gerasa (ca. 60–120 n.Chr.) beschäftigte sich intensiv mit Dreiecks-, Vierecks- und Fünfeckszahlen. Geschicktes Legen von Punktmustern, oft auf der Basis der Verwendung von Winkelhaken („Gnomonen“), lieferte in unmittelbarer Weise nichttriviale Erkenntnisse. Auch große Mathematiker arbeiteten oft mit der Technik der figurierten Zahlen oder vergleichbarer Methoden. Von Carl Friedrich Gauß, einem der größten Mathematiker aller Zeiten, wird berichtet, dass er als junger Schüler die Aufgabe seines Lehrers, die Zahlen von 1 bis 100 zu addieren, löste, indem er die Zahlenreihen 1, 2, 3, ..., 100 zweimal untereinander aufschrieb; einmal in der natürlichen und einmal in der umgekehrten Reihenfolge. Er erkannte, dass jede der dadurch gegebenen 100  „Spaltensummen“ gleich 101 war, und ermittelte so in kürzester Zeit das Ergebnis. Diese Vorgehensweise lässt sich problemlos verallgemeinern und liefert in paradigmatischer Weise die Formel \( 1 + 2 + 3 + \ldots + n = n \cdot (n+1) / 2 \).

Das, was wir heute unter Mathematik verstehen, entwickelte sich vor Jahrtausenden aus der Praxis des Zählens und Rechnens. Früheste Beispiele für das Zählen waren in Holz oder in Knochen geritzte Markierungen. „Rechnen“ war in diesem frühen Stadium weitgehend gleichbedeutend mit „addieren“. Als Hilfsmittel für das Rechnen wurden oft kleine Steinchen verwendet. Heutige Begriffe wie „kalkulieren“ bzw. „Kalkulation“ leiten sich aus dieser Praxis ab; die lateinische Bezeichnung für kleine Steinchen ist „calculi“. Zum Rechnen verwendeten kleinen Steinchen hießen in der lateinischen Sprache calculi. Zum Entstehen der Mathematik als wissenschaftlicher Disziplin gehört ganz fundamental das Streben nach Allgemeinheit mathematischer Aussagen und im engen Zusammenhang damit die Entwicklung von Formen des mathematischen Begründens und Beweisens. Diese Entwicklung setzte in der Antike etwa im 6. Jahrhundert v.Chr. im griechischen Kulturkreis ein. Arithmetische Aussagen („Sätze“) wurden oft durch das Auslegen bestimmter Figuren mit Spielsteinen gewonnen, begründet und letztlich bewiesen – daher auch die Bezeichnung „figurierte Zahlen“. Die griechischen Mathematiker wandten geometrisches Denken und geometrische Veranschaulichungen auch auf arithmetische oder algebraische Sachverhalte an. Sie machten dabei oft von der „Gnomon-Methode“ Gebrauch. Ein Gnomon (deutsch: Schattenzeiger) war ein Winkelhaken, der auch als Bestandteil von Sonnenuhren bei der Zeitmessung verwendet wurde. Gnomone wurden einerseits ganz direkt verwendet (Bestimmung der Pyramidenhöhe nach Thales, Ermittlung des Erdumfangs nach Eratosthenes); sie wurden aber auch im übertragenen Sinne in der Mathematik eingesetzt (Flächengleichheit von Parallelogrammen, binomischer Lehrsatz, isoperimetrische Probleme).

Erste Beispiele für figurierte Zahlen sind die Dreieckszahlen (Triagonalzahlen) und Viereckszahlen (Quadratzahlen). Als Dreieckszahlen werden die Anzahlen \(D(1) = 1, D(2) = 3 (= 1 + 2), D(3) = 6 (=1 + 2 + 3), D(4) = 10 (= 1 + 2 + 3 + 4), \quad \ldots \) bezeichnet, die sich aus den Punkten in regelmäßigen Dreiecksmustern ergeben. Die Dreieckszahl D(4) spielte als „Tetraktys“ eine wichtige Rolle in der griechischen Kosmologie. Die Methode der figurierten Zahlen zeigt unmittelbar, dass die Summe zweier benachbarter Dreieckszahlen stets eine Quadratzahl ist. Die Gnomon-Methode zeigt in paradigmatischer Weise, dass die fortlaufend gebildete Summe ungerader Zahlen, beginnend bei 1, stets eine Quadratzahl ist. Unterschiedliche Konfigurationen aus quadratischen Plättchen liefern Formeln für die fortlaufend gebildete Summe von Quadratzahlen und stellen Verbindungen zu den Kubikzahlen her. Das Kapitel schließt mit weiteren regelhaften Zahlenmustern, die aus ungeraden Zahlen gebildet werden, sowie mit kurzen Bemerkungen zur weiteren Entwicklung im Verlauf des historischen Prozesses.

In diesem Kapitel wird, aufbauend auf den Dreiecks- und Viereckszahlen, die Behandlung der Polygonal- und Pyramidalzahlen stärker systematisiert. Dabei spielt die Gnomon-Methode für die Erzeugung der Polygonalzahlmuster eine wichtige Rolle. Eine erste, konstruktive Beschreibung der Polygonalzahlen liefert die Darstellung der entsprechenden Zahlen in rekursiver Form. Im weiteren Verlauf wird eine (nichtrekursive) explizite Darstellung erarbeitet. Die Pyramidalzahlen entstehen durch geeignete „Schichtung“ von Polygonalzahlen. Auch für diese Zahlen werden rekursive und explizite Darstellungen erarbeitet.

In diesem Kapitel werden die früheren Ansätze systematisiert. Dabei wird immer wieder Gebrauch gemacht von der Differenzenbildung, einer bewährten Strategie zur Erkennung von Gesetzmäßigkeiten in Folgen. Der Differenzenoperator wird für allgemeine Folgen eingeführt. Die iterierte Differenzenbildung wird untersucht; besonders in den Fällen, wo sie zu konstanten Differenzenfolgen führt. In einem kleinen computer-basierten Szenario wird die Umsetzung der Differenzenbildung im Rahmen des Computeralgebra Systems Maxima realisiert.

Das Verfahren der Wechselwegnahme geht auf Mathematiker der griechischen Antike zurück (Eudoxos, Theaitetos, Euklid, ...). Dabei geht es im weitesten Sinne um den Vergleich von Strecken. Der Größenvergleich zweier Strecken ist zunächst sehr einfach: Man muss die Strecken nur nebeneinander legen. Sehr bald ergeben sich Fragen der Art: Geht die kürzere Strecke bei mehrfachem Abtragen ganz in der längeren auf bzw. gibt es eine Vergleichsstrecke g, die in den beiden Ausgangsstrecken „aufgeht“, mit der sich die Ausgangsstrecken a und b also „ausmessen“ lassen? Besitzen die Strecken a und b ein solches gemeinsames Maß, so sagt man auch a und b sind kommensurabel, andernfalls inkommensurabel. Die Vorstellung, dass es zu zwei beliebigen Ausgangsstrecken a und b immer ein gemeinsames Maß geben muss, ist zunächst sehr naheliegend. Basierend auf vielen Beobachtungen in den Bereichen Zahlenmystik, Astronomie (Sphärenharmonie) und vor allem auch in der Harmonielehre der Musik vertrat Pythagoras die Auffassung „Alles ist Zahl“. Dabei war bei Pythagoras mit „Zahl“ das gemeint, was wir heute als natürliche Zahl oder als das Verhältnis zweier natürlicher Zahlen bezeichnen. In Pythagoras’ Lehre spielten hochgradig symmetrische Figuren eine herausragende Rolle: die Tetraktys, das Quadrat, das regelmäßige Fünfeck bzw. das Pentagramm. Als besonders tragisch muss deshalb die Erkenntnis gewertet werden, dass ausgerechnet die für Quadrat und Pentagramm konstituierenden Größen, also ihre jeweiligen Seiten und Diagonalen inkommensurabel sind. Die gesamte Teilbarkeitslehre basiert auf der bereits in der Grundschule gelehrten „Division mit Rest“. Im Euklidischen Algorithmus wird sie so lange wie möglich wiederholt und liefert so den größten gemeinsamen Teiler zweier natürlicher Zahlen. Dieses Verfahren ist um Größenordnungen effizienter als das im Standard-Schulunterricht behandelte Verfahren der Primfaktorzerlegung. Der Euklidische Algorithmus führt zur Kettenbruchdarstellung reeller Zahlen. Ähnlich wie die Systembruchdarstellungen (z.B. die Dezimalbruchdarstellung) weisen Kettenbruchdarstellungen oft besondere Muster und Regelmäßigkeiten auf (z.B. Periodizitäten). Kettenbrüche eignen sich auch sehr gut, um irrationale Zahlen oder hochgradig komplizierte gewöhnlich Brüche durch Bruchdarstellungen anzunähern. Ein historisch bedeutsames Beispiel dafür ist die Verwendung von Kettenbrüchen bei der Konstruktion des Planetenmodells von Chr. Huygens.

Leonardo von Pisa (1170–1250), genannt Fibonacci, war einer der größten europäischen Mathematiker des Mittelalters. Er stellte in seinem berühmten Buch Liber Abaci im Jahre 1202 eine Aufgabe zur Kaninchenvermehrung vor, deren Lösung zu der (inzwischen als Fibonacci-Zahlen bezeichneten) Zahlenfolge 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...führte. Die Fibonacci-Zahlen gaben über die Jahrhunderte hinweg Anlass zu vielfältigen mathematischen Untersuchungen. Sie standen und stehen im Zentrum eines engen Beziehungsgeflechts mit anderen mathematischen und nichtmathematischen Themen wie z.B. Goldener Schnitt, Euklidischer Algorithmus, Kettenbrüche, exponentielles Wachstum, erzeugende Funktionen, Phyllotaxis usw. Die (rekursive) Definition der Fibonacci-Zahlen wird zunächst durch geeignete Beispiele (Treppensteigen, Pflasterungen) veranschaulicht. Es folgen weitere, zu interessanten algebraischen Gleichungen führende Veranschaulichungen, die ihrerseits wieder die Basis für eine Reihe optischer Tüuschungen bilden. Die konkrete numerische Berechnung der Fibonacci-Zahlen wird anhand unterschiedlicher Methoden dargestellt und besonders unter Effizienzgesichtspunkten diskutiert (rekursives Verfahren, iteratives Verfahren, Formel von Binet, Matrizenrechnung, Prinzip von Teile und Herrsche). Einige der Verfahren werden als Computeralgebra Programme formuliert und ausgewertet.

Eine wichtige („produktive“), im vorausgehenden Kapitel über Fibonacci-Zahlen behandelte, geometrische Konfiguration besteht aus Rechtecken und Quadraten, deren Seitenlängen Fibonacci-Zahlen sind. Die Seitenverhältnisse der Rechtecke werden durch die Quotienten aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen beschrieben. Diese Quotienten definieren eine Intervallschachtelung und streben somit einem Grenzwert zu: dem „Goldenen Schnitt“. Eine der vielen geometrischen Konstruktionsmöglichkeiten für den Goldenen Schnitt wird angegeben und diverse algebraische Relationen, bei denen der Goldene Schnitt eine Rolle spielt, werden diskutiert.

Mit dem Begriff „Phyllotaxis“ bezeichnet man in der Biologie die Lehre von der regelhaften geometrischen Anordnung von Blättern, Knospen, Stängeln oder Fruchtansätzen von Pflanzen (das Wort Phyllotaxis geht auf die altgriechischen Bezeichnungen „phyllon“ für Blatt und „taxis“ für Anordnung zurück). Wenn man eine Sonnenblume, einen Kiefern- oder Tannenzapfen, eine Ananas und viele weitere Pflanzen aufmerksam betrachtet, kann man überraschende Entdeckungen machen. Betrachtet man z.B. intensiv das Bild einer Sonnenblume, so wird man sehr bald entdecken, dass die Kerne spiralförmige Muster bilden (genauer: 34 rechtsdrehende und 55 linksdrehende Spiralen). Diese Werte scheinen für die Sonnenblume recht stabil zu sein; auch bei anderen Sonnenblumen kann man sie beobachten. Auch bei einer Ananas oder beim Kiefernzapfen entdeckt man spiralförmige Muster—und die Anzahl der Spiralen ist jeweils eine Fibonacci-Zahl. Empirische Untersuchungen zu den Wachstumsbedingungen (optimale Energieausbeute; minimale Inhibition) legen die Vermutung nahe, dass sich beim Wachstum der jeweiligen Pflanze der „Blattfolgewinkel“ im Sinne des „Goldenen Winkels“ weiterdreht, wobei der Goldene Winkel den Vollwinkel im Verhältnis des Goldenen Schnitts unterteilt. Die Annäherung der Quotienten benachbarter Fibonacci-Zahlen an den Goldenen Schnitt stellt den entscheidenden Schlüssel zur Erklärung der „Fibonacci-Eigenschaft“ der Spiralzahlen dar. Diese Überlegungen werden durch eine konkrete Computersimulation abgerundet, die in der Lage ist, die beobachteten Spiralmuster modellhaft zu reproduzieren.

Historisch gesehen, waren vom Zeitpunkt der ersten Beschreibung der Fibonacci-Zahlen im Liber Abaci (im Jahre 1202) bis zur Formulierung der Formel von Binet (im Jahre 1843) Jahrhunderte vergangen. Heute stellt die Theorie der Differenzengleichungen Methoden zur Verfügung, um für große Klassen rekursiver Gleichungen in systematischer Weise (nichtrekursive) „explizite“ Darstellungen (bzw. Darstellungen „in geschlossener Form“) zu finden. In diesem Kapitel wird exemplarisch eine solche Möglichkeit zur Herleitung der Formel von Binet behandelt. Typologisch betrachtet, ist die Definitionsgleichung der Fibonacci-Zahlen eine lineare Differenzengleichung zweiter Ordnung (mit konstanten Koeffizienten). Aufbauend auf der Tatsache, dass die Lösungen linearer Differenzengleichungen erster Ordnung (mit konstanten Koeffizienten) geometrische Folgen sind, wird der Versuch unternommen, lineare Differenzengleichungen zweiter Ordnung additiv in jeweils zwei lineare Differenzengleichungen erster Ordnung zu zerlegen. Dies führt zur „charakteristischen Gleichung“ der ursprünglich gegebenen Differenzengleichung, mit deren Wurzeln schließlich in kanonischer Weise die Lösungen der Fibonacci-Gleichung konstruiert werden.

Ein mathematischer Beweis ist eine Argumentationskette, durch welche die zu beweisende Aussage (der zu beweisende Satz) in mehr oder weniger formalisierter Form als richtig (bzw. gültig) nachgewiesen wird. In Abhängigkeit von der zu beweisenden Aussage kann die jeweilige Beweistechnik, die in irgendeiner Form immer auf der mathematischen Logik beruht, sehr unterschiedlich ausfallen. In diesem Kapitel wird die Beweistechnik der vollständigen Induktion ausführlich behandelt. Sie basiert auf der Konstruktion der natürlichen Zahlen „aus dem Nichts“ entsprechend dem Axiomensystem von G. Peano, auf das zunächst eingegangen wird. Das Beweisverfahren der vollständigen Induktion wird dann sehr ausführlich an verschiedenartigen Beispielen erläutert und demonstriert: an typischen Beispielen, an „nicht so ganz typischen“ Beispielen, an Zahlenmustern, an Beispielen im Zusammenhang mit Mengen, an Beispielen aus der Geometrie. Auf die Möglichkeit der Definition durch vollständige Induktion und auf die vollständige Induktion im Zusammenhang mit anderen Beweistechniken (Schubfachprinzip, Wohlordnungssatz) wird eingegangen. Scheinbeweise, Lustiges und Merkwürdiges und ein frühes, auf den Rabbiner Levi Ben Gershon (Gersonides, 1288–1344) zurückgehendes, historisches Beispiel zur vollständigen Induktion runden die Darstellung ab. Schließlich wird die Frage untersucht: Muss es immer vollständige Induktion sein? An zwei einschlägigen Beispielen wird aufgezeigt, dass es manchmal auch intuitivere alternative Methoden der Erkenntnisgewinnung gibt.