Skip to main content
Fachgebiete
Automobil + Motoren Bauwesen + Immobilien Business IT + Informatik Elektrotechnik + Elektronik Energie + Nachhaltigkeit Finance + Banking Management + Führung Marketing + Vertrieb Maschinenbau + Werkstoffe Versicherung + Risiko
DE
EN
Themenseiten
Organisationspsychologie Projektmanagement Marketing Smart Manufacturing
Bücher
Zeitschriften
Weitere Formate
Podcasts Webinare Technik Webinare Wirtschaft Kongresse Veranstaltungskalender Awards
Jetzt Einzelzugang starten
Zugang für Unternehmen
Referenzkunden
MTZ-Fachkongress

Antriebe und Energiesysteme von morgen


Austausch von Automobil- und Energiewirtschaft

Am 14./15. Mai geht es in Chemnitz um die Mobilitätswende durch Elektro- und Wasserstofffahrzeuge.
Erweiterte Suche
Anmelden
nach oben
Erschienen in:
Reelle und komplexe Zahlen Kapitel lesen Erstes Kapitel lesen

2024 | OriginalPaper | Buchkapitel

3. Grenzwert und Stetigkeit

verfasst von : Norbert Steinmetz

Erschienen in: Analysis

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Einloggen

Aktivieren Sie unsere intelligente Suche, um passende Fachinhalte oder Patente zu finden.

search-config
loading …

Zusammenfassung

Am Beispiel der reellen Funktionen einer reellen Veränderlichen wird der Grenzwertbegriff weiterentwickelt. Insbesondere werden die grundlegenden Eigenschaften stetiger Funktionen in diesem Fall hergeleitet und diskutiert. Zum ersten Mal taucht dabei die immer wiederkehrende Frage auf, unter welchen Umständen Grenzwertbildungen vertauscht werden dürfen. Dem in all seinen Ausprägungen als schwierig empfundenen Begriff der Gleichmäßigkeit wird besondere Aufmerksamkeit gewidmet. Die elementaren Funktionen (Exponentialfunktion, Logarithmus, Sinus und Cosinus) werden mittels Potenzreihen bereits jetzt eingeführt und ihre wichtigsten Eigenschaften hergeleitet, um zur Einübung der Begriffe und Erläuterung der Methoden und Sätze nichttriviale Beispiele zur Hand zu haben.

Sie haben noch keine Lizenz? Dann Informieren Sie sich jetzt über unsere Produkte:

Springer Professional "Wirtschaft+Technik"

Online-Abonnement

Mit Springer Professional "Wirtschaft+Technik" erhalten Sie Zugriff auf:

  • über 102.000 Bücher
  • über 537 Zeitschriften

aus folgenden Fachgebieten:

  • Automobil + Motoren
  • Bauwesen + Immobilien
  • Business IT + Informatik
  • Elektrotechnik + Elektronik
  • Energie + Nachhaltigkeit
  • Finance + Banking
  • Management + Führung
  • Marketing + Vertrieb
  • Maschinenbau + Werkstoffe
  • Versicherung + Risiko

Jetzt Wissensvorsprung sichern!

Jetzt informieren

Springer Professional "Technik"

Online-Abonnement

Mit Springer Professional "Technik" erhalten Sie Zugriff auf:

  • über 67.000 Bücher
  • über 390 Zeitschriften

aus folgenden Fachgebieten:

  • Automobil + Motoren
  • Bauwesen + Immobilien
  • Business IT + Informatik
  • Elektrotechnik + Elektronik
  • Energie + Nachhaltigkeit
  • Maschinenbau + Werkstoffe




 

Jetzt Wissensvorsprung sichern!

Jetzt informieren

Springer Professional "Wirtschaft"

Online-Abonnement

Mit Springer Professional "Wirtschaft" erhalten Sie Zugriff auf:

  • über 67.000 Bücher
  • über 340 Zeitschriften

aus folgenden Fachgebieten:

  • Bauwesen + Immobilien
  • Business IT + Informatik
  • Finance + Banking
  • Management + Führung
  • Marketing + Vertrieb
  • Versicherung + Risiko




Jetzt Wissensvorsprung sichern!

Jetzt informieren
Vorheriges Kapitel Folgen und Reihen
Nächstes Kapitel Eindimensionale Differentialrechnung
Fußnoten
1
Die Gleichung \(x^2+px+q=0\) hat die reellen Lösungen \(x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\frac{p^2}{4}-q}\), sofern nur \(\frac{p^2}{4}-q\ge 0\) ist; soweit die aus der Schule bekannte Formel. Diese Formel soll nicht auswendig gelernt, vielmehr das quadratische Ergänzen \(x^2+px+q=\big (x+\frac{p}{2}\big )^2-\frac{p^2}{4}+q\) geübt werden.
 
2
Bisher wurden alle Ergebnisse punktweise oder auf einen Schlag im ganzen Intervall gewonnen. Was sich hier andeutet ist aber eher typisch für die Analysis: Eine Eigenschaft, wie hier die gleichmäßige Konvergenz, kann nicht global im ganzen Intervall, sondern nur lokal bewiesen werden, und trotzdem hat sie die globale Gültigkeit einer anderen Eigenschaft, hier der Stetigkeit, zur Folge. Dies liegt daran, dass die Stetigkeit selbst eine lokale Eigenschaft ist.
 
3
Nullstellen spezieller quadratischer Polynome \(z^2+pz+q\) wurden schon in Mesopotamien berechnet. Dass in \(z_{1,2}=-p/2\pm \sqrt{p^2/4-q}\) (p, q reell) auch negative Radikanden auftreten war aber nicht der Grund für das Interesse an den komplexen Zahlen. Vielmehr ergibt sich Merkwürdiges bei Polynomen dritten Grades \(z^3+2pz+3q\); sie haben drei Nullstellen, die sich formelmäßig angeben lassen: \(z_1=u_1+u_2,\) \(z_2=f_1u_1+f_2u_2,\) und \(z_3=f_2u_1+f_1u_2\) (Formeln von Cardano), wobei \(u_{1,2}=\root 3 \of {-q\pm \sqrt{D}}\) mit \(D=p^3+q^2\) gilt und \(f=f_{1,2}\) die Gleichung \(f^2+f+1=0\) löst. Speziell für reelle p und q mit \(D<0\) sind aber die Nullstellen \(z_j\) reell, dennoch werden sie durch Ausdrücke dargestellt, die Wurzeln aus negativen Zahlen enthalten. Ebenso ist keine der Zahlen \(f_{1,2}\) reell.
 
Metadaten
Titel
Grenzwert und Stetigkeit
verfasst von
Norbert Steinmetz
Copyright-Jahr
2024
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Buch
Analysis

Print ISBN: 978-3-662-68085-8

Electronic ISBN: 978-3-662-68086-5

Copyright-Jahr: 2024

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-68086-5_3

Premium Partner

    Bildnachweise