5. Riemann- und Lebesgue-Integral

Im vorliegenden Kapitel wird ein gewisser Abschluss der eindimensionalen Analysis erreicht. Das Riemann-Integral wird definiert und seine Eigenschaften werden bis zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung hergeleitet. Die genaue Abgrenzung seines Gültigkeitsbereichs (‘fast überall stetig’), die üblicherweise Lebesgue zugeschrieben wird, gelingt mit der bereits von Riemann verwendeten Methode. Im Anschluss daran, aber immer noch in diesem Kapitel, wird das eindimensionale Lebesgue-Integral eingeführt und mit dem Riemann-Integral verglichen. Der Aufbau ist dabei so angelegt, dass er unmittelbar und ohne Änderung der Argumentation auf den mehrdimensionalen Fall, behandelt im Kapitel über das Lebesgue-Integral im \(\mathbb {R}^n\), übertragen werden kann. Damit wird auch der zuweilen aufkommenden Meinung entgegengetreten, das Riemann-Integral sei ein typisch eindimensionales, das Lebesgue-Integral aber ein mehrdimensionales Phänomen. Beschlossen wird dieses Kapitel mit einer kurzen Besprechung des Riemann-Stieltjes-Integrals und der Funktionen von endlicher Variation.