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2023 | OriginalPaper | Buchkapitel

6. Relativistische Formulierung der elektromagnetischen Feldtheorie

verfasst von : Harald Klingbeil

Erschienen in: Elektromagnetische Feldtheorie für Fortgeschrittene

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Dieses Kapitel ist der relativistischen Formulierung der Maxwell’schen Gleichungen gewidmet. Zunächst werden die Gleichungen für das Vektorpotential und das skalare Potential in eine kovariante Form gebracht, indem das Viererpotential und die Viererstromdichte eingeführt werden. Anschließend werden die Maxwellgleichungen für die Feldstärken kovariant formuliert, was durch die Einführung von Feldstärketensoren ermöglicht wird. Darauf basierend wird das Transformationsverhalten elektromagnetischer Größen beim Wechsel des Inertialsystems hergeleitet. Als spezieller Anwendungsfall ergibt sich das elektromagnetische Feld einer gleichförmig bewegten Punktladung. Bei dieser Anwendung wird auch ein Bezug zum Gesetz von Biot-Savart hergestellt.

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Vorheriges Kapitel Lorentztransformation und grundlegende Effekte der speziellen Relativitätstheorie
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Fußnoten
1
Den Maxwellgleichungen für das elektrische und das magnetische Feld sieht man nicht so einfach an, wie sie sich in einer Form schreiben lassen, die invariant gegenüber Lorentztransformationen ist. Deshalb beginnen wir mit den Potentialen und behandeln die Felder erst anschließend.
 
2
Als Vierervektor bezeichnet man in der Relativitätstheorie einen Vektor (bzw. ein Vektorfeld in der Raumzeit) mit vier Komponenten. Differentialoperatoren wie die Divergenz oder der Gradient können sowohl auf Dreier- als auch auf Vierervektoren angewandt werden. Wir verwenden für die Differentialoperatoren in beiden Fällen dieselbe Schreibweise, sodass auf das jeweilige Argument des Differentialoperators zu achten ist.
 
3
Bei Vektorkomponenten ist der Fettdruck eher willkürlich, da man beispielsweise die Komponente \(x^{2}={\textbf{x}}^{2}\) sowohl dem Dreiervektor \(\vec {r}=(x^{1},x^{2},x^{3})\) als auch dem Vierervektor \(\vec {\textbf{r}}=({\textbf{x}}^{1},{\textbf{x}}^{2},{\textbf{x}}^{3},{\textbf{x}}^{4})\) zuordnen kann. Wie man an diesem Beispiel sieht, ist bei den Vektoren \(\vec {r}\) und \(\vec {\textbf{r}}\) die Unterscheidung hingegen obligatorisch. Trotz der Willkür bei den Vektorkomponenten kann die Übersichtlichkeit durch diese Vereinbarung erhöht werden. Außerdem stimmen die ersten drei Komponenten von Vierervektoren nicht immer mit denen des zugehörigen Dreiervektors überein, wie wir zum Beispiel beim Vierervektor der Geschwindigkeit anhand von (8.​40) sehen werden.
 
4
Gemäß Abschn. 3.​7.​4 ist die Divergenz eines Vektors ein Skalar, also eine invariante Größe.
 
5
Viele Autoren verwenden für den vierdimensionalen Laplaceoperator das Zeichen \(\Box \) anstelle von \(\Delta \). Diese Schreibweise wird in diesem Buch nicht übernommen, da hier auch bei den Operatoren \({\text {grad}}\), \({\text {div}}\), \({\text {Grad}}\) und \({\text {Div}}\) nicht zwischen drei und vier Dimensionen unterschieden wird.
 
6
Das gewöhnliche skalare Potential tritt gemäß (6.5) in der vierten Komponente eines Vierervektors auf, sodass es sich dabei nicht um ein Skalarfeld im Sinne einer Lorentzinvarianten handelt. Es gilt also im Allgemeinen (bei bewegten Bezugssystemen) nicht \({\bar{\Phi }}=\Phi \), wenn man mittels einer Lorentztransformation vom Bezugssystem K zum Bezugssystem \({\bar{K}}\) wechselt.
 
7
Hier wurde \(\vec {H}\) durch \(\vec {E}\) und \(\vec {D}\) durch \(-\vec {B}\) ersetzt sowie ein zusätzlicher Faktor \(-j\) eingeführt, um zu [58] äquivalente Ergebnisse zu erhalten. Der willkürliche Faktor \(-j\) ändert die Transformationseigenschaften nicht.
 
8
Im engeren Sinne bezeichnet man den Tensor \(\textbf{F}\), den wir noch gemäß der Gleichung (6.86) definieren werden, als den Feldstärketensor. Die Tensoren \(\textbf{F}\) und \({\textbf{F}}^{*}\) sind aber sehr eng verwandt, sodass wir bei der Benennung nicht zu streng sein wollen.
 
9
Wir heben nicht besonders hervor, dass natürlich auch die Zeiten t und \({\bar{t}}\) zu unterscheiden sind.
 
10
Wie am Ende von Abschn. 3.​16 gezeigt wurde, werden durch orthogonale Transformationen – also auch durch die spezielle Lorentztransformation – Orthonormalbasen auf Orthonormalbasen, also kartesische Basisvektoren auf kartesische Basisvektoren abgebildet. Die Transformation zwischen \(\vec {g}_3\) und \(\vec {\bar{g}}_{3}\) ist jedoch nicht trivial, wie die Gleichungen (8.​34) zeigen werden.
 
11
Die Verwendung magnetisch ideal leitender Wände in der Elektrostatik wurde im Grundlagenband erläutert.
 
12
Bei \(\vec {v}\) handelt es sich um die Geschwindigkeit des Bezugssystems \(\bar{K}\) gegenüber K, sodass sich K gegenüber \(\bar{K}\) mit der Geschwindigkeit \(-\vec {v}\) bewegt.
 
13
Bei der Berechnung des Ladungsbelags darf sowohl für K als auch für das Bezugssystem \(\bar{K}\) die Ladung Q eingesetzt werden, da diese gemäß Abschn. 6.2.3 invariant gegenüber Lorentztransformationen ist. Demzufolge ist der Ladungsbelag nicht invariant.
 
14
Man beachte, dass die Ladungen in K ruhen und nicht in \(\bar{K}\), sodass (5.​46) und nicht (5.​45) angewandt werden muss.
 
15
Auf die Lorentzfaktoren werden wir in Abschn. 8.​12 noch detaillierter eingehen.
 
16
Da in K Wellen unterschiedlicher Frequenz auftreten, hätte man diesen Fall nicht mit den üblichen Phasoren behandeln können, die implizit immer dieselbe Frequenz voraussetzen. Bei Frequenzbereichsbetrachtungen ist also Vorsicht angebracht, wenn bewegte Objekte im Spiel sind.
 
17
Bei einer Beschränkung auf das Vakuum kommt man auch mit einem einzigen Tensor aus.
 
18
Wir wissen natürlich inzwischen, dass die „Vektoren“ \(\vec {E}\), \(\vec {B}\), \(\vec {D}\) und \(\vec {H}\) im Allgemeinen keine Tensoren 1. Stufe im Sinne der Lorentztransformation sind, da sie sich nicht entsprechend transformieren. Der Begriff „Vektor“ ist hier also eher als Zusammenfassung der Komponenten gemeint.
 
19
Im Rahmen dieses Buches wäre es logischer gewesen, den als Erstes aufgetretenen Tensor \({\textbf{F}}^{*}\) als \(\textbf{F}\) zu bezeichnen. Hierdurch wären die Rollen von \({\textbf{F}}^{*}\) und \(\textbf{F}\) vertauscht worden. Dies wurde jedoch vermieden, um konform mit [58] zu bleiben.
 
20
Wie in den Abschn. 2.​1.​3 und 2.​2.​6 gezeigt wurde, können dielektrische bzw. magnetisch permeable Materialien auch unter Zugrundelegung der Vakuum-Maxwellgleichungen beschrieben werden, indem man Polarisations- bzw. Magnetisierungsvektorfelder ansetzt, die Dipoldichten entsprechen. In Abschn. 6.6 werden wir den Polarisationstensor kennenlernen, der als relativistische Verallgemeinerung sowohl die Komponenten des Polarisationsvektors als auch die des Magnetisierungsvektors enthält.
 
21
Da der Aufpunkt mit (x, y, z) gekennzeichnet werden soll, wird die Position \((0,0,z^{\prime })\) und somit auch die Länge \(\textrm{d}z^{\prime }\) des Leiterstücks durch einen Strich markiert.
 
22
Bekanntlich lässt sich das Magnetfeld eines unendlich langen, unendlich dünnen, geraden Leiters darstellen als \(\vec {B}=\frac{\mu _{0}\;I}{2\pi \varrho }\vec {e}_{\varphi }\). Man kann leicht überprüfen, dass diese Darstellung mit beiden Ergebnissen (6.102) und (6.103) übereinstimmt, wenn man die Zylinderkoordinaten \(\varrho \), \(\varphi \) und z in kartesische Koordinaten x, y und z transformiert.
 
23
Für Vierertensoren könnte man prinzipiell einheitlich festlegen, ob sich deren Benennung nach den zeitlichen (4. Zeile und Spalte) oder den räumlichen Komponenten (erste drei Zeilen und Spalten) richten soll und ob dort Vorfaktoren erlaubt sind. So streng wollen wir in diesem Buch bei der Benennung aber nicht sein.
 
24
Damit dies möglich ist, wurde oben der Faktor \(j c_0\) eingeführt.
 
Metadaten
Titel
Relativistische Formulierung der elektromagnetischen Feldtheorie
verfasst von
Harald Klingbeil
Copyright-Jahr
2023
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Buch
Elektromagnetische Feldtheorie für Fortgeschrittene

Print ISBN: 978-3-662-67923-4

Electronic ISBN: 978-3-662-67924-1

Copyright-Jahr: 2023

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-67924-1_6

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