4. Gruppen, Ringe, Felder

Die moderne Kryptographie stützt sich für ihre Fähigkeit, Klartext in Chiffretext zu verwandeln, der wie zufällige Symbolsequenzen erscheint, auf die grundlegenden Konzepte der abstrakten Algebra. In diesem Kapitel führen wir die Grundlagen von Gruppen, Ringen und Körpern ein, einschließlich Untergruppen, zyklischen Gruppen, der Ordnung von Elementen und dem Lagrangeschen Theorem. Eine Gruppe ist eine Menge, die unter einer Operation geschlossen ist, die normalerweise (und oft) entweder als Addition oder als Multiplikation bezeichnet wird, mit zusätzlichen Eigenschaften. Ein Ring hat sowohl eine Addition als auch eine Multiplikation, aber möglicherweise keine Operation, die einer Division ähnelt. Ein Körper hat alle Eigenschaften, die wir normalerweise mit der Durchführung von Arithmetik verbinden. Alle drei sind in gewisser Weise lediglich abstrakte Beschreibungen der gewöhnlichen Arithmetik. Beweise werden weitgehend auf später verschoben oder gar nicht durchgeführt. Und da wir mehr daran interessiert sind, Gruppen, Ringe und Körper zu verwenden, als Theoreme über sie als algebraische Objekte zu beweisen, kann dieses Kapitel weitgehend als einfache Bereitstellung von Definitionen und formalen Aussagen der Wahrheit dessen angesehen werden, was wir beobachten, wenn wir die Operationen zum Verschlüsseln und Entschlüsseln durchführen.