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2024 | OriginalPaper | Buchkapitel

8. Das Lebesgue-Integral

verfasst von : Norbert Steinmetz

Erschienen in: Analysis

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Kapitel 8 ist dem (mehrdimensionalen) Lebesgue-Integral gewidmet. Nach den Vorarbeiten des fünften Kapitels kommt es sehr schnell zu den typisch mehrdimensionalen Sätzen von Fubini und Tonelli und der Transformationsformel. Diese Sätze werden durch viele nichttriviale Beispiele und Anwendungen erläutert. Diskutiert werden weiterhin die Vollständigkeit der \(\mathcal {L}^p\)-Räume, die Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Parameterintegralen, die Faltung integrierbarer Funktionen und die Approximation durch \(\mathcal C^\infty \)-Funktionen – paradoxerweise mittels ‘Glättung durch Faltung’. Für die Entwicklung einer allgemeinen Maß- und Integrationstheorie sind alle Grundlagen vorbereitet.

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Fußnoten
1
\(h(t)=e^{-|t|}\) ist eindimensional (Lebesgue-)integrierbar, somit ist \(H(\mathfrak {x})=h(x_1)\cdots h(x_n)=e^{-|\mathfrak {x}|_1}\) in \(\mathcal {L}(\mathbb {R}^n)\) und \(\int H=\int h\cdots \int h\).
 
2
Diese Voraussetzung ist unentbehrlich, wie das Beispiel \(E_k=(0,1/k)\times \mathbb {R}\subset \mathbb {R}^2\) zeigt, wo \(\bigcap _{k\in \mathbb {N}} E_k=\emptyset \), aber \(\lambda ^2(E_k)=\infty \) ist.
 
3
Nachfolgende elegante Schlussweise ist W. Walter, Analysis 2, Springer-Lehrbuch 1990 entnommen.
 
4
Die Bezeichnung ist so gewählt, dass die nördliche Breite im Gradmaß von \(0^\circ \) bis \(90^\circ \), die südliche von \(0^\circ \) bis \(-90^\circ \) gezählt wird, und die geographische Länge positiv nach Osten bis \(180^\circ \) (Datumsgrenze) und negativ nach Westen bis \(-180^\circ \).
 
5
p und q heißen zueinander konjugierte Exponenten.
 
Metadaten
Titel
Das Lebesgue-Integral
verfasst von
Norbert Steinmetz
Copyright-Jahr
2024
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Buch
Analysis

Print ISBN: 978-3-662-68085-8

Electronic ISBN: 978-3-662-68086-5

Copyright-Jahr: 2024

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-68086-5_8

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